نحوه محاسبه آزمون مقايسه ميانگين t مستقل و زوجي در نرم افزار R

ویلیام سیلی گوسه (William Sealy Gosset) ‏ آماردان  مشهوری است که با نام خودش شناخته شده نیست. او در کانتربری انگلستان به دنیا آمد و در کالج وینستر و سپس در نیوکالج آکسفورد به تحصیل شیمی و ریاضیات پرداخت. وي نام مستعار Student، یا دانشجو را برگزید و به این ترتیب امروز این نام در علم آمار ماندگار شد. در بسياري از موقعيت هاي پ‍ژوهشي مقايسه ميانگين بين دو گروه مد نظر محقق است. در اين موقعيت به كارگيري t يك ضرورت است. آماره t علاوه بر آزمون فرض در بسياري از روشهاي آماري ديگر به عنوان آزمون معني داري پارامتر ها مورد توجه است. نرم افزار R توانايي آزمون هر سه دسته آزمون t را دارد.

آزمون t یک نمونه ای
در حالت کلی برای آزمودن این  فرضیه که آیا میانگین یک نمونه با میانگین اصلی خود؛ یعنی میانگین جامعه هم خوانی دارد یا خیر از آزمون تک نمونه ای t-student استفاده می کنند. فرض بر این است که توزیع جامعه همواره نرمال باشد، اما از آنجایی که با افزایش تعداد نمونه ها،  احتمال منطبق شدن توزیع جامعه بر توزیع نرمال افزایش می یابد؛ می توان با هر تعداد نمونه ای از آزمون های t استفاده کرد. معمولا آزمون t تک نمونه ای را هنگامی به کار می گیرند که تعداد نمونه ها کمتر از 30 و واریانس جامعه نامعلوم باشد. آماره این آزمون به صورت زیر است.
 

که در آن

آزمون t  دو نمونه ای مستقل
برای مقایسه میانگین های دو نمونه مستقل از داده های کمی، از آزمون دو نمونه ای مستقل t استفاده می شود. در این آزمون ها فرض آماری به صورت زیر مطرح می شوند:

فرض صفر در واقع بیان می کند که اختلاف معنی داری (زیادی) بین میانگین دو گروه یک و دو وجود ندارد چنانچه آزمون t  منجر به رد فرض صفر ما گردد یعنی بین دو گروه اختلاف زیادی وجود دارد.

آزمون t  زوجی
از این آزمون را زمانی استفاده می شود که  یک گروه در دو مرحله یا در دو  زمان مختلف،آزموده شود واختلاف میانگین های این گروه در این مراحل مورد اهمیت باشد. عبارتی که برای این بکار گیری این روش استفاده می شود معمولا "قبل" و "بعد" است؛ مثلا فشار خون افراد ی که از داروی خاصی استفاده می کنند، فشار خون این افراد را قبل و بعد از مصرف دارو اندازه می گیرند و برای دیدن اینکه دارو اثر بخش بوده یا خیر آزمون t  زوجی را به کار می گیرند.
آماره این آزمون مبتنی بر متغیر d_i است که در واقع از اختلاف زوج ها به دست می آید. اگر x_i  متغیر اندازه گیری شده در مرحله اول و y_i متغیر اندازه گیری شده در مرحله دوم باشد در این صورت:

آن گاه این متغیر ها با فرض نرمال بودن توزیع داده ها و مجهول بودن واریانس از توزیع t  زوجی پیروی می کند و آماره این آزمون به صورت زیر خواهد بود:

که    انحراف معیار d  و d̅ میانگین d  می باشد.

 

 آزمون های t در نرم افزار R
تابع t.test()  درR  انواع مختلف آزمون t را فراهم می سازد. بر خلاف اکثر بسته های آماری که به طور پیش فرض واریانس ها برابرند، در اینجا پیش فرض R واریانس ها را نابرابر می داند.
در زیر فرم های مختلف تابع t.test() را همراه با کاربردهایش نشان می دهیم:

 

•  t.test(y~x) :

این تابع، آزمون t دو نمونه ای مستقل را می سازد که در آن y  مقادیر عددی و x عامل دو تایی است.

• t.test(y1,y2) :

این تابع، آزمون t دو نمونه ای مستقل را می سازد وقتی که y1 و y2 هر دو مقادیر عددی باشند.

• t.test(y1,y2,paired=TRUE) :

این تابع، آزمون t زوجی را می سازد که در آن y1 و y2 هر دو مقادیر عددی باشند که به هم وابسته می باشند.

• t.test(y,mu=a) :

این تابع، آزمون t یک نمونه ای را می سازد که در آن فرض صفر، میانگین را برابر a در نظر می گیرد.
می توان از گزینه  var.equal=TRUE  استفاده کرد تا   واریانس ها را برابر در نظر گرفت و واریانس آمیخته را برآورد کرد.
همچنین می توان از گزینه های "alternative="less یا "alternative="greate برای آزمون های یک طرفه استفاده کرد.

مثالی از انجام آزمون های t  در نرم افزار R:

> Control = c(91, 87, 99, 77, 88, 91)
> Treat = c(101, 110, 103, 93, 99, 104)
> t.test(Control,Treat,alternative="less", var.equal=TRUE) 

Two Sample t-test
data: Control and Treat
t = -3.4456, df = 10, p-value = 0.003136
alternative hypothesis: true difference in means is less than 0

منبع: سایت ژورنال امار آکادمی

---