درباره نظریه مجموعه های فازی

درباره نظریه مجموعه های فازی

این مطلب مفید و ارزشمند از وبسایت گروه آماردانان ایران زمین با آدرس http://amardanan.ir به امانت گرفته شده است  و دارای مطالب مفیدی برای کاربران محترم وب سایت ایران پژوهان خواهد بود.

 تعاریف و مفاهیم پایه

 مقدمه

  نظریه مجموعه های زیر بنای ریاضیات مدرن می باشد . در این نظریه مجموعه ها بصورت گروه معینی از اشیاء تعریف می شوند . به عبارت دیگر هر مجموعه با یک ویژگی خوشتعریف مشخص می شود . اگر یک شیی مفروض ، دارای آن ویژگی باشد عضو مجموعه متناظر است والافلا . مثلاً اگر مجموعه مرجع X ، مجموعه اعداد حقیقی فرض شود و P ویژگی « بزرگتر از ده بودن » باشد ، آنگاه P یک ویژگی خوشتعریف است که یک مجموعه ، مثلاً مجموعه A با آن متناظر می شود، چرا که می توان با قاطعیت گفت آن عدد بزرگتر از ده و این عدد کوچکتر از ده می باشد .

 

 

  حال فرض کنید که بخواهیم درباره آن دسته از مجموعه اعداد حقیقی گفتگو کنیم که «بزرگ » باشند . در این جا با یک ویژگی ناخوشتعریف و مبهم یعنی « بزرگ » مواجهیم . اینکه چه اعدادی بزرگ هستند و کدام اعداد کوچکند ، بستگی به نظر افراد دارد و نسبی است . به عبارت دیگر عضویت یا عدم عضویت اعداد مختلف در مجموعه ای با ویژگکی « بزرگ بودن » قطعی نیست . مثلاً آیا ۱۰۰ عدد بزرگی است و عضو مجموعه اعداد حقیقی بزرگ است یا خیر ؟ ۱۰۰۰ چطور ؟ ۱۰۰۰۰۰۰ چطور ؟ … می بینیم ویژگی بزرگ بودن برای اعداد حقیقی یک ویژگی دقیق و معین نیست بنابراین جامه نظریه مجموعه های کلاسیک بر تن اینگونه مفاهیم راست نمی آید و این نظریه از صورتبندی این مفاهیم و ویژگی ها ناتوان است . از قضا بیشتر مفاهیم و ویژگی هایی که در زندگی روزمره و نیز در شاخه های مختلف علوم ، بویژه علوم انسانی و اجتماعی با آن سروکار داریم اینگونه اند . یعنی مفاهیمی هستند منعطف و مجموعه هایی با کرانت های نا دقیق . مثلاً ما در زندگی روزمره کمتر از کودکان بلندقدتراز ۵۰ سانتی متر ، زمین های بزرگتر از ۱۰ هکتار ، مسافت های طولانی تر از ۴۰۰ کیلومتر و … صحبت می کنیم ، بلکه فهم و زبان طبیعی ما بیشتر با مفاهیمی مانند کودکان بلند قد ، زمین های وسیع ، مسافت های بسیار طولانی و … سروکار دارد . همچجنین در علوم بویژه علوم انسانی و اجتماعی به جای صحبت از کشورهای دارای بیشتر از هزار کارخانه ، شهرهای با جمعیت بیشتر از ده میلیون نفر و … با مفاهیم و عباراتی چون جوامع پیشرفته صنعتی ، شهر های پر جمعیت و … سروکار داریم . هیچ کدام از این مفاهیم و تعاریف ، تعاریف دقیقی نیستند و نمی توان برای هر کدام از آنها مجموعه های دقیقی تصور کرد . در قلمرو ریاضیات و نظریه مجموعه های کلاسیک جایی برای این مفاهیم وجود ندارد و قالبی برای صورتبندی آنها و ابزاری برای تجزیه و تحلیل آنها وجود ندارد . نظریه های مجموعه های فازی یک قالب جدید ریاضی برای صورتبندی و تجزیه و تحلیل این مفاهیم و ویژگیها است . این نظریه یک تعمیم و گسترش طبیعی از نظریه مجموعه های معمولی است،که موافق با زبان و فهم طبیعی انسانها نیز می باشد . در مثال مجموعه اعداد حقیقی بزرگ ، ابهام در معلوم نبودن عضویت یا عدم عضویت اعداد مختلف در مجموعه اعداد بزرگ است . بنا بر پیشنهاد آقای زاده ، مناسب است که به هر عدد از مجموعه اعداد حقیقی ، عددی از بازه صفر تا یک ، تحت عنوان درجه عضویت در «مجموعه اعداد حقیقی بزرگ » نسبت دهیم . هر چه یک عدد بزرگتر بود درجه عضویت آن به یک نزدیکتر خواهد بود و هر جه عدد کوچکتر باشد درجه عضویت آن به صفر نزدیکتر خواهد بود . بدین ترتیب به جای آنکه بگوییم عدد ۱۰۰۰ بزرگ است یا کوچک است و یا در مورد آن ساکت باشیم ، می گوییم درجه بزرگ بودن آن مثلاً ۰٫۷ است .یعنی با درجه ۰٫۷ عضوی مجموعه مورد نظر است . واضح است که به هر عدد واقع در مجموعه مرجع ، عددی از بازه [۰،۱] به عنوان درجه عضویت در مجموعه اعداد بزرگ نسبت می دهیم . یعنی تابعی در نظر می گیریم که قلمرو آن مجموعه مرجع و برد آن بازه صفر تا یک می باشد . مشاهده می شود که اساس کار تشریح شده چیزی نیست جز تعمیم مفهوم تابع نشانگر مجموعه ها از تابعی با برد {۰،۱} به تابعی با برد [۰،۱].

  به این ترتیب می توان بسیاری از مفاهیم بیگانه با ریاضیات فعلی را وارد دنیای ریاضیات کرد و زبان و منطق بشری را در یک ساختار ریاضی نظم و ترتیب داد .

  تعریف تابع عضویت

  فرض کنید X یک مجموعه مرجع دلخواه باشد یادآوری می شود که مجموعه معمولی A را در مجموعه مرجع X می توان به سه روش زیر نمایش داد .

  ۱٫ روش فهرست: فهرست کردن تمامی اعضای مجموعه

  ۲٫ روش قاعده: مشخص کردن ویژگی هایی که باید توسط اعضاء مجموعه A رعایت گردد .

  ۳٫ روش تعلق: تعریف تابع نشانه از مجموعه مرجع به برد {۰،۱} که به شکل زیر نمایش داده می شود که مبین عضویت یا عدم عضویت اعضاء مجموعه مرجع در مجموعه A می باشد .

 

  حال اگر برد تابع نشانه را از مجموعه دو عضوی {۰،۱} به بازه [۰،۱] توسعه می دهیم یک تابع خواهیم داشت که به هر X از مجموعه مرجع X ، عددی را از بازه   [۰،۱] نسبت می دهد . این تابع را تابع عضویت مجموعه A می نامیم .اکنون A دیگر یک مجموعه معمولی نیسن ، بلکه یک مجموعه فازی می باشد . ( یک زیر مجموعه فازی از مجموعه مرجع X ). بنابراین یک مجموعه فازی A ، مجموعه ای ایست که درجه عضویت اعضاء آن می تواند به طور پیوسته از بازه [۰،۱] اختیار گردد . این مجموعه به طور کامل ویکتا توسط یک تابع عضویت که آنرا به شکل ذیل می نمایانیم مشخص می شود.

 تابعی که به هر عنصر از مجموعه مرجع X ، یک عدد را از بازه [۰،۱] به عنوان درجه عضویت آن در مجموعه فازی A نسبت می دهد. نزدیکی به عدد ۱ نشان دهنده تعلق بیشتر X به مجموعه A می باشد و بالعکس نزدیکی آن به صفر مبین تعلق کمتر X به A است. در حالت حدی چنانچه X کاملاً در A عضو باشد، تابع عضویت ۱ و چناچه اصلاً در A عضو نباشد تابع عضویت ۰ خواهد بود. پس مجموعه های معمولی و توابع نشانگر آنها، حالت های خاصی از مجموعه های فازی و توابع عضویت آنها هستند .

  مثال ۱ : مجموعه مرجع {۱،۲،۳،۴،۵} =X را در نظر بگیرید. زیر مجموعه معمولی از X شامل اعداد کوچکتر از ۴ به صورت زیر است :

  A={1,2,3}

  که تابع نشانگر آن به صورت زیر است :

 

  در این مثال یعنی عدد دو عضو مجموعه A است و یعنی عدد ۴ عضو A نیست .به عبارت دیگر عدد دو ویژگی کوچکتر از ۴ را دارد و عدد ۴ ندارد.

  زیر مجموعه فازی B در X با ویژگی « کوچک بودن » را می توان این گونه تعریف نمود:

  مثال ۲ : مجموعه مرجع  [۰,۲۰۰۰] =X را در نظر بگیرید . زیر مجموعه فازی از X با ویژگی «نزدیک ۱۰۰۰»، می تواند توسط تابع عضویت زیر تعریف گردد :

  در این مثال اعداد ۲۰۰ و ۱۸۰۰ هر دو با درجه ۰٫۲ عضو مجموعه فازی A هستند. به عبارت دیگر با درجه ۰٫۲ ویژگی « نزدیکی به ۱۰۰۰» را دارا می باشند. نمودار تابع عضویت مجموعه فازی A، اصطلاحاً تابع عضویت مثلثی اطلاق می شود.

  لازم به تذکر است یکی از مشکلات تئوری مجموعه های فازی چگونگی تعریف تابع عضویت می باشد . افراد مختلف ممکن است نظرات مختلفی درباره ویژگی هایی چون « کوچک بودن » ، « نزدیک ۱۰۰۰ بودن » و مانند آن داشته باشند. در نتیجه توابع عضویت مختلفی برای مجموعه های فازی در نظر بگیرنند . لذا در تعیین تابع عضویت، جنبه های ذهنی و شخصی بسیار موثر است. برای حل این معضل « مجموعه های فازی مرتبه بالا»[۲] مطرح می­شود. تابع عضویت هر IVFS یک بازه خواهد بود که کران بالا و پایین دارد(به کارهای آقای ابراهیم بورهان ترکسن مراجعه شود). در علم روان سنجی و نظریه اندازه گیری می توان تابع عضویت هر را به طور دقیق تعیین نمود.

  نمادگذاری

  برای نمایش یک مجموعه فازی روش مختلفی رایج است .

 

  در نمایش سوم ، منظور از علامت « + » اجتماع است ، نه جمع حسابی! و مخصوص مجموعه های فازی گسسته می باشد .

  در نمایش چهارم منظور از علامت انتگرال اجتماع است و مخصوص مجموعه های فازی پیوسته می باشد .

  بنابراین مجموعه فازی B در مثال ۱ را می توان علاوه بر نحوه نمایش پیشین ، به شکل های زیر نیز نمایش داد:

 

 

  و مجموعه فازی A در مثال دوم را ، علاوه بر نمایش گذشته ، می توان به شکل زیر هم نمایش داد :

 

  برش آلفا

  هر مجموعه فازی را با تعریف آستانه عضویت ( برش آلفا ) می توان به مجموعه معمولی تبدیل نمود.

  تعریف : زیر مجموعه معمولی عناصری از مجموعه مرجع X ، که درجه عضویت آنها در مجموعه فازی A ، حداقل به اندازه باشد ، برش آلفای مجموعه فازی A گوییم و به شکل روبرو نشان می دهیم .

 

  بنابراین به عنوان مثال چند برش آلفای مثال اول اینگونه نمایش داده می شود :

   عملگرهای مجموعه ­ای

  احکام وگزاره ها با مجموعه ها نمایش داده می شود . احکام معمولی با مجموعه های معمولی و احکام فازی با مجموعه های فازی .

  مایلیم در حوزه احکام فازی با دانستن ارزش احکام ساده ، ارزش احکام مرکب را تعیین کنیم . بنابراین ناگزیر خواهیم بود اجتماع ، اشتراک ، نفی ، استلزام و … را در مجموعه های فازی تعریف کنیم . در تعریف این عملگرها باید دقت کنیم تعاریف ما با اصول منطقی سازگاری داشته باشد و در حالات خاص که حکم ما به حکم معمولی تبدیل می شود عملگرهای تعریف شده نیز به همان عملگرهای مجموعه های معمولی تبدیل گردد.

   اشتراک ، اجتماع ، متمم

  عملگر «و» AND را با T عملگر «یا» OR را با S و عملگر «نفی » NOT را با N نمایش میدهیم. قصد داریم با داشتن تابع عضویت دو مجموعه فازی B,A بتوانیم تابع عضویت مجموعه های اجتماع ، اشتراک و متمم این دو مجموعه را محاسبه نماییم .

  از توابع عملگر S,T,N چه انتظاراتی داریم ؟

  با عنایت به توقعاتی که از این توابع داریم قادر خواهیم بود منطقی مبتنی بر توقعات خود بنا نماییم . ممکن است افراد مختلف انتظارات و عقاید مختلفی داشته باشند که متناسب با انتظارات خود به تعریف توابع عملگر مناسب دست بیازند و در نتیجه منطق فازی متناسب با انتظارات خود ، خواهند داشت . باری ، در ادامه ، برخی از انتظارات از این عملگرها را تبیین می کنیم و به تعریف تابع عملگر متناسب با انتظارات مطرح شده می نشینیم .

  شرط تقارن ( خاصیت هم توانی ) برای S,T : توقع داریم مثلاُ ارزش گزاره مرکب « عدد دو عضو مجموعه اعدا طبیعی کوچک است و/ یا عدد دو عضو مجموعه اعداد طبیعی کوچک است » برابر ارزش گزاره ساده « عدد دو عضو مجموعه اعداد طبیعی کوچک است » باشد . چه بسا عده ای با عنایت به شواهد زبان شناختی معتقد باشند که ارزش گزاره مرکب فوق برابر ارزش گزاره « عدد دو مطمئناً عضوی مجموعه اعداد طبیعی کوچک است » می باشد و لذا شرط همتوانی را ساری ندانند .

  شرط توزیع پذیری S,T نسبت به یکدیگر

   در حالت خاص همان تعریف عملگرهای مجموعه های معمولی شود . یعنی : اگر ارزش گزاره فازی A برابر a ، و ارزش گزاره فازی B برابر b باشد ، داشته باشیم :

  T (a,b)=0           if b=0                                                             S(a,b)=1       if b=1

  T (a,b)=1           if a=1                                                             S(a,b)=0       if a=0

   توابع S و T پیوسته و غیرنزولی باشند. یعنی اگر به عنوان مثال ارزش گزاره اول ۰٫۲ و گزاره دوم ۰٫۵ بود و ارزش گزاره مرکب AND، به مقدار ۰٫۱ برآورد گردید، در صورتی که ارزش گزاره اول و دوم زیاد شود ، ارزش گزاره مرکب هم افزایش یابد.

 تابع متمم پیوسته و ناصعودی باشد

  و …

  انتظارات مطرح شده به طور خلاصه به صورت زیر خواهد بود :

  پیوسته و غیر نزولی  T

  پیوسته و غیر نزولی  S

  S(a,b)=S(b,a)                                                                                T(a,b)=T(b,a)

  T(a,T(b,c))=T(T(a,b),c)                                                                  S(a,S(b,c))=S(S(a,b),c)

  S(a,T(b,c))=T(S(a,b),S(a,c))                                                            T(a,S(b,c))=S(T(a,b),T(a,c))

  S(0,0)=0                                                                                        T(1,1)=1

  N(N(a))=a                                          N(0)=1                                   N(1)=0 پیوسته و غیر نزولی N(.)

  عملگرهایی که در قوانین دمورگان صدق کنند ، مزدوج یکدیگرند ، ویکی از روی دو دیگری قابل تعریف است :

  N(S(a,b))=T(N(a),N(b))

  N(T(a,b))=S(N(a),N(b))

  معمولاً در عملگرهای ثلاثه تعریف شده ، شرط توزیع پذیری و هم توانی نقض می شود . به تعدادی از عملگرهای تعریف شده توجه نمایید :

 

  ملاحظه می شود که در نظریه مجموعه های فازی اجتماع مجموعه با متممش مجموعه مرجع را نمی دهد و همچنین اشتراک آندو تهی نمی باشد .

  ملاحظه میگردد تمام تعاریف بالا جز شرط هم توانی و توزیعپذیری را نقض می کنند . معمولا با توجه به کاربرد ، یکی از تعاریف انتخاب می گردد.

  برای S,T هایی که شرایط ذکر شده ، بجز توزیعپذیری را ارضاء کنند، خواهیم داشت:

   استلزام

  در منطق کلاسیک ارزش گزاره شرطی فوق را هم ارز با ( نقیض p یا q ) می انگارند. حال ما ارزش گزاره شرطی فوق را در حوزه منطق فازی ، چگونه نماییم ؟

   می توانیم از منطق کلاسیک استفاده کنیم و در منطق فازی نیز ارزش حکم شرطی را همانند منطق کلاسیک در نظر گیریم. در این صورت بنا بر اینکه چه توابعی برای برگزیده ایم خواهیم داشت:

 

  ممدانی در تعیین ارزش حکم شرطی از منطق کلاسیک تبعیت نمی کند و تعریف زیر را در نظر می گیرد. وی با این تعریف، برای احکام شرطی اصطلاحا «مفهوم» در نظر میگیرد.

  با این تعریف خواهیم داشت:

  ملاحظه می شود که با تعریف فوق، در حالات خاص به تعریف مجموعه های معمولی نمی رسیم. لذا اگر عدم قطعیت ما کم باشد و به مجموعه های کلاسیک نزدیک باشیم ، استفاده از این تعریف ما را با مشکل مواجه خواهد کرد. با وجود این تعاریف فوق در عمل کاربرد وسیعی دارند.

  رابطه فازی

  رابطه فازی ، یک تعمیمی از رابطه در حالت معمولی میباشد. رابطه فازی اساس استدلال تقریبی و کنترل فازی می باشد لذا از این جهت از ارزش بالایی برخوردار است.

  تعریف ۱:رابطهفازی دو بعدی R در X.Y بصورت زیر تعریف می گردد:

  مثال۳: رابطه فازی R را در مجموعه اعداد حقیقی چنین در نظر بگیرید: «حاصلجمع Y,X تقریبا برابر ۵ است» . می توان رابطه را چنین تعریف کرد:

  به عنوان نمونه R(1,4)=1 خواهد بود،و R(1,5)=.5 می باشد. و بدین معنا است که مجموع ۱و۴ دقیقا ۵ است و حاصلجمع ۱و۵ با درجه ۵/۰ نزدیک به ۵ می باشد.

  ملاحظه می شود با این تعریف ، به هر زوج از ( x,y ) یک عدد حقیقی از بازه نسبت داده می شود . می توان تعریف فوق را تعمیم داد:

  تعریف ۲:رابطه R در یک رابطه فازی روی عناصر دو مجموعه فازی A,B خواهد بود اگر:

  

  بدین ترتیب اگر R رابطه «کوچکتر بودن» باشد و عدد ۱۵، ۰٫۴ عضو مجموعه A و عدد ۲۰، ۰٫۷ عضو مجموعه B باشد زوج (۲۰ ، ۱۵ ) به اندازه (۰٫۷، ۰٫۴) min یعنی ۰٫۴ یا کمتر عضو مجموعه R خواهد بود

  ملاحظه می گردد روابط فازی ، همان مجموعه های فازی هستند که در فضای ضربی X.Y تعریف می شوند. روابط فازی را می توان به صورت گراف نمایش داد که یالهای گراف مبین وزن اتصال گره ها می باشد و می تواند اندازه ای در بازه [۰،۱] داشته باشند.

   ترکیب روابط فازی

  روابط فازی ای که در فضاهای متفاوت تعریف شده اند را می توان توسط اپراتور ترکیب با هم ترکیب نمود. انواع مختلفی ترکیب پیشنهاد شده است که تعریف   sup-star یکی از کاربردیترین تعاریف می باشد و بنا بر آن ترکیب دو رابطه فازی چنین تعریف می گردد:

  

  که عملگر T می تواند یکی از عملگرهای پیشنهاد شده برای اشتراک (AND) باشد.

  مثال۴:

 

 

     متغیرهای زبانی

  با تامل در زبانهای طبیعی محاوره ای و استدلالهای انسانی در می یابیم که بیشتر از بر چسب های مبهم و نا دقیق برای توصیف کلمات استفاده می شود تا متغیرهای دقیق و کاملا مشخص . مثلا از بر چسب هایی مانند بالا، کم، بیشتر، سنگین و غیره که مقادیر عددی ( ۲۰ درصد و … )نیستند بیشتر استفاده می شود . به متغیرهایی که با برچسب های زبانی توصیف می شود ، متغییر زبانی اطلاق می شود . برای مثال سن متغییر زبانی است اگر به جای اینکه با اعدادی چون ۵ ، ۱۵ ، ۲۵ ، ۳۵ و غیره توصیف می شود با برچسب هایی چون کودک ، نوجوان ، جوان ، پیر ، خیلی پیر و مانند آن توصیف گردد .

http://www.iust.ac.irمنبع :

---